常微分方程

常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

1. 基本概念

• 微分方程 (Differential Equation, DE): 包含未知函数及其导数的方程。
• 常微分方程 (ODE): 未知函数是一元函数的微分方程（只有一个自变量）。
• 阶数 (Order): 方程中出现的最高阶导数的阶数。
• 线性 (Linearity): 如果未知函数及其各阶导数都是一次的，且系数仅依赖于自变量，则称该方程为线性微分方程。
• 解 (Solution):
  • 通解 (General Solution): 包含任意常数的解，常数的个数等于方程的阶数。
  • 特解 (Particular Solution): 确定了任意常数后的解（通常由初值条件确定）。
  • 奇解 (Singular Solution): 不能从通解中得到的解（例如包络线）。

2. 一阶微分方程 (First-Order ODEs)

一般形式: $F(x, y, y') = 0$ 或 $y' = f(x, y)$

2.1 变量分离方程 (Separable Equations)

形如: $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 解法: 分离变量后两边积分

2.2 一阶线性微分方程 (Linear Equations)

形如: $y' + P(x)y = Q(x)$ 解法 (积分因子法):

1. 计算积分因子: $I(x) = e^{\int P(x) dx}$
2. 方程两边同乘 $I(x)$，左边变为 $(y \cdot I(x))'$
3. 积分得通解: $$ y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right) $$

2.3 伯努利方程 (Bernoulli Equations)

形如: $y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$ 解法: 令 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性方程:

2.4 全微分方程 (Exact Equations)

形如: $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 判定条件: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 解法: 寻找函数 $u(x, y)$ 使得 $du = Mdx + Ndy = 0$，则通解为 $u(x, y) = C$。

3. 二阶线性微分方程 (Second-Order Linear ODEs)

一般形式: $y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)$

3.1 二阶常系数齐次线性微分方程

形如: $y'' + py' + qy = 0$ ($p, q$ 为常数) 特征方程: $r^2 + pr + q = 0$ 通解结构:

1. 两个不等的实根 $r_1, r_2$: $$ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $$
2. 两个相等的实根 $r_1 = r_2$: $$ y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x} $$
3. 一对共轭复根 $\alpha \pm i\beta$: $$ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $$

3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程

形如: $y'' + py' + qy = f(x)$ 通解: $y = y_h + y_p$ (齐次通解 + 非齐次特解) 待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients): 根据 $f(x)$ 的形式猜测 $y_p$ 的形式:

• $f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$: 设 $y_p = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$ ($k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数)
• $f(x) = e^{\alpha x} [P_l(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x]$: 类似设定，需包含正余弦项。

3.3 欧拉-柯西方程 (Euler-Cauchy Equation)

形如: $x^2 y'' + ax y' + by = 0$ 解法: 令 $x = e^t$ (或试解 $y = x^m$) 化为常系数方程。

4. 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

用于求解常系数线性微分方程初值问题。 定义: $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$ 重要性质:

• $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$
• $\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$

求解步骤:

1. 对方程两边取拉普拉斯变换，将 ODE 转化为代数方程。
2. 求解代数方程得到 $Y(s)$。
3. 取拉普拉斯逆变换 $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$ 得到原方程的解。

5. 定性理论简介

不直接求解方程，而是研究解的性质（如稳定性、渐近性）。

• 相平面 (Phase Plane): 对于自治系统 $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = P(x, y) \\ \frac{dy}{dt} = Q(x, y) \end{cases}$，在 $xOy$ 平面上描绘解的轨迹。
• 奇点 (Critical Points): $P(x, y) = 0, Q(x, y) = 0$ 的点。
• 稳定性: 结点头(Node)、鞍点(Saddle)、焦点(Focus)、中心(Center)。

6. 应用举例

• R-L-C 电路: 二阶常系数线性方程。
• 弹簧振子系统: 简谐振动、阻尼振动。
• 人口增长模型 (Logistic Malthus): 一阶非线性方程。